Гидродинамика

Критерий Рейнольдса

Такую зависимость вывел английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842 — 1912).

Критерий, который помогает ответить на вопрос, есть ли необходимость учитывать вязкость, является число Рейнольдса Re. Оно равно отношению энергии движения элемента текущей жидкости к работе сил внутреннего трения.

Рассмотрим кубический элемент жидкости с длиной ребра n. Кинетическая энергия элемента равна:

Согласно закону Ньютона, сила трения, действующая на элемент жидкости, определяется так:

Работа этой силы при перемещении элемента жидкости на расстояние n составляет

а отношение кинетической энергии элемента жидкости к работе силы трения равно

Сокращаем и получаем:

Re — называется числом Рейнольдса.

Таким образом, Re — это безразмерная величина, которая характеризует относительную роль сил вязкости.

Например, если размеры тела, с которым соприкасаются жидкость или газ, очень малы, то даже при небольшой вязкости Re будет незначительно и силы трения играют преобладающую роль. Наоборот, если размеры тела и скорость велики, то Re >> 1 и даже большая вязкость почти не будет влиять на характер движения.

Однако не всегда большие числа Рейнольдса означают, что вязкость не играет никакой роли. Так, при достижении очень большого (несколько десятков или сотен тысяч) значения числа Re плавное ламинарное (от латинского lamina — «пластинка») течение превращается в турбулентное (от латинского turbulentus — «бурный», «беспорядочный»), сопровождающееся хаотическими, нестационарными движениями жидкости. Этот эффект можно наблюдать, если постепенно открывать водопроводный кран: тонкая струйка течёт обычно плавно, но с увеличением скорости воды плавность течения нарушается. В струе, вытекающей под большим напором, частицы жидкости перемещаются беспорядочно, колеблясь, всё движение сопровождается сильным перемешиванием.

Появление турбулентности весьма существенно увеличивает лобовое сопротивление. В трубопроводе скорость турбулентного потока меньше скорости ламинарного потока при одинаковых перепадах давления. Но не всегда турбулентность плоха. В силу того что перемешивание при турбулентности очень значительно, теплообмен — охлаждение или нагревание агрегатов — происходит существенно интенсивнее; быстрее идёт распространение химических реакций.

Движение установившееся и неустановившееся

Движение жидкости
может быть установившимся и
не­
установившимся. Поясним эти
понятия на следующем
примере.

Рассмотрим
вытекание жидкости из отверстия,
сделан­ного в стенке резервуара.

Рис.16

Пусть уровень 1-1
(рис. 16) поддерживается постоян­ным.
В этом случае жидкость вытекает с одной
и той же скоростью, струя занимает вполне
определенное, не меняю­щееся с течением
времени положение и давление в какой-нибудь
точке А
жидкости не
меняется. Такое движение жидкости
называется установившимся.

Рис.17

Во втором случае
(рис. 17) уровень в резервуаре по­стоянным
не поддерживается, а все время
опускается, причем скорость вытекания
уменьшается, струя жидкости изменяет
свое положение в пространстве (уровню
1-1 соответствует положение струи,
показанное сплошными линиями, уровню
2-2-
положение струи, показанное пунктиром)
и давление в какой-нибудь точке А
тоже ме­няется.
Движение в этом случае называется
неустано­вившимся.

Итак, установившимся
движением на­зывается такое, при
котором скорость и давление в любой
точке пространства, занятого жидкостью,
не изменяются с течением времени.
Неустановившимся дви­жением называется
такое, при котором скорость и давление
в любой точке пространства, занятого
жидкостью, изменяются с течением времени.

Законы — гидродинамика

Законы гидродинамики, составляющие основу гидромеханических процессов, в значительной мере определяют также характер течения тепловых и массообменных ( диффузионных) процессов.

Законы гидродинамики позволяют определять разность давлений, необходимую для перемещения данного количества жидкости с требуемой скоростью, или, наоборот, по известному перепаду давления определять скорость и расход жидкости.

Законы гидродинамики не только лежат в основе гидромеханических процессов, но в значительной мере определяют также характер течения тепловых и диффузионных процессов.

Законы гидродинамики, составляющие основу гидромеханических процессов, в значительной мере определяют также характер течения тепловых и массообменных ( диффузионных) процессов.

Законы гидродинамики, определяющие динамические свойства регулируемого участка, для капельных жидкостей, газов и паров во многом подобны. Однако при применении этих законов к процессам в паросиловых установках условия обычно бывают такими, что для систем, обтекаемых жидкостями, могут быть приняты некоторые упрощающие предположения, недопустимые для систем с газом, и наоборот

Напротив, в системах, обтекаемых газом или паром, сжимаемость следует обязательно принимать во внимание, особенно в связи с ее влиянием на изменение аккумулированной системой среды; инерционность движущейся массы имеет значение только в некоторых особых случаях. В связи с этим целесообразно динамические свойства систем, обтекаемых капельными несжимаемыми жидкостями, рассматривать отдельно от свойств систем, обтекаемых паром или газом.

Эти законы гидродинамики справедливы лишь для сечения потока, несоизмеримо большего в сравнении с радиусом действия поля твердой фазы ( металла), порядок величины которого обычно составляет от десятых долей микрона до 1 ш ЕН-шналад щ, размеры которых одного порядка величин с радиусом действия поля твердой фазы, объемный эффект может полностью исчезнуть, а процесс течения жидкости определится свойствами жидкости р граничном ее слое.

Чтобы применять законы гидродинамики к более концентрированным суспензиям сферических частиц, необходимо снова рассмотреть идеализированные системы, в которых не учитываются эффекты, вызванные столкновениями и агрегацией частиц. Метод отражений, хотя в принципе и применимый к таким системам, до сего времени оказывается слишком сложным, чтобы его можно было практически использовать.

При изучении процессов и аппаратов химической технологии законы гидродинамики используются главным образом для расчета скорости и расхода жидкостей ( газов, паров) по заранее известной движущей силе — перепаду давления, или для решения обратной задачи — определения необходимой движущей силы по заданной скорости движения или расходу жидкости.

Схема тепловой трубы, на которой показана циркуляция теплоносителя.

В следующих разделах этой главы будут описаны законы гидродинамики и теплопередачи, имеющие отношение к капиллярным ограничениям, а также будет разработана теория ограничений на пористую структуру фитиля.

При изучении процессов и аппаратов химической технологии законы гидродинамики используются, главным образом, для расчета скорости и расхода жидкостей ( газов, паров) по известной движущей силе-перепаду давления, или для решения обратной задачи — определения необходимой движущей силы по заданной скорости движения или расходу жидкости.

При изучении процессов и аппаратов химической технологии законы гидродинамики используются главным образом для расчета скорости и расхода жидкостей ( газов, паров) по заранее известной движущей силе — перепаду давления, или для решения обратной задачи — определения необходимой движущей силы по заданной скорости движения или расходу жидкости.

В связи с этим теоретические основы таких процессов включают законы гидродинамики.

Изменение наименьшей толщины масляного слоя в зависимости от вязкости масла для двигателя ГАЗ-51.

При образовании участков граничного и особенно полусухого трения нарушаются законы гидродинамики, значительно повышается температура и уменьшается вязкость смазочного материала. В зоне трения вследствие повышения температуры различие вязкости смазочных материалов несколько выравнивается, в результате чего создаются противоречивые мнения о целесообразности применения смазочных материалов той или иной вязкости при приработке двигателей.

Уравнение Бернулли стационарного движения

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 г. швейцарским учёным Даниилом Бернулли (1700 — 1782). Ему впервые удалось описать движение идеальной жидкости, выраженной в формуле Бернулли.

Идеальная жидкость — жидкость, в которой отсутствуют силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда.

Уравнение стационарного движения, носящее его имя, имеет вид:

где P — давление жидкости, ρ − её плотность, v — скорость движения, g — ускорение свободного падения, h — высота, на которой находится элемент жидкости.

Смысл уравнения Бернулли в том, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) общая энергия каждой точками всегда неизменна.

В уравнении Бернулли есть три слагаемых:

  • ρ⋅v2/2 — динамическое давление — кинетическая энергия единицы объёма движущей жидкости;
  • ρ⋅g⋅h — весовое давление — потенциальная энергия единицы объёма жидкости;
  • P — статическое давление, по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Это уравнение объясняет почему в узких участках трубы растёт скорость потока и падает давление на стенки трубы. Максимальное давление в трубах устанавливается именно в месте, где труба имеет наибольшее сечение. Узкие части трубы в этом отношении безопасны, но в них давление может упасть настолько, что жидкость закипит, что может привести к кавитации и разрушению материала трубы.

Уравнение Навье — Стокса для вязких жидкостей

В более строгой формулировке линейная зависимость вязкого трения от изменения скорости движения жидкости называется уравнением Навье — Стокса. Оно учитывает сжимаемость жидкостей и газов и, в отличие от закона Ньютона, справедливо не только вблизи поверхности твёрдого тела, но и в каждой точке жидкости (у поверхности твёрдого тела в случае несжимаемой жидкости уравнение Навье — Стокса и закон Ньютона совпадают).

Любые газы, для которых выполняется условие сплошной среды, подчиняются и уравнению Навье — Стокса, т.е. являются ньютоновскими жидкостями.

Вязкость жидкости и газа обычно существенна при относительно малых скоростях, потому иногда говорят, что гидродинамика Эйлера — это частный (предельный) случай больших скоростей гидродинамики Навье — Стокса.

При малых скоростях в соответствии с законом вязкого трения Ньютона сила сопротивления тела пропорциональна скорости. При больших скоростях, когда вязкость перестаёт играть существенную роль, сопротивление тела пропорционально квадрату скорости (что впервые обнаружил и обосновал Ньютон).

Основные гидродинамические понятия.

Поток жидкости
– это непрерывная масса частиц жидкости,
движущаяся в определенном направлении.

Различают поток
русловой,
если он ограничен полностью или частично
стенками русла, и свободный.

Примерами руслового
потока может служить движение жидкости
в трубопроводах, реках и каналах. Примером
свободного потока – движение струи
жидкости, вышедшей из гидромонитора.

К гидравлическим
элементам потока относятся живое
сечение, расход, смоченный периметр,
гидравлический радиус и средняя скорость.

Живое сечение
потока

поверхность, перпендикулярная направлению
скорости потока и ограниченная его
внешним контуром. Обозначается буквой


и измеряется в
.

Расход потока
– объем жидкости
,
проходящий в единицу временичерез
живое сечение потока. Обозначается
буквойи измеряется
в
.

Смоченный периметр
потока

длина контура живого сечения, на которой
жидкость соприкасается с твердыми
стенками. Обозначается буквой
и измеряется в.

Гидравлический
радиус потока

– отношение площади живого сечения
к смоченному периметру.
Обозначается буквойи измеряется в.

Величина
не имеет особого физического смысла;
при помощи этой величины пытаются
приближенно учесть влияние формы (а так
же размеров) живого сечения потока на
движение жидкости.

Средняя скорость
потока

частное от деления расхода потока
на площадь его живого сечения
.
Обозначается буквой
и измеряется в;

.

Исходя из определений
гидравлических элементов потока,
установившееся движение может быть
равномерным
и неравномерным.

Равномерное
движение жидкости –
установившееся
движение, при котором живые сечения и
средняя скорость потока не изменяются
по его длине. Пример:
движение жидкости в цилиндрической
трубе.

Неравномерное
движение жидкости –
установившееся
движение, при котором живые сечения и
средняя скорость потока изменяются по
его длине. Пример:
движение жидкости в канале при изменении
глубины потока.

Напорное движение
– случай, когда поток жидкости со всех
сторон ограничен твердыми стенками
русла, а давление в любой точке отлично
от атмосферного. Движение жидкости
происходит за счет разности напоров
(водопроводная сеть, гидролинии в
объемном гидроприводе).

Безнапорное
движение

случай движения жидкости со свободной
поверхностью
. Движение происходит
благодаря разности геодезических
отметок русла (пример:
движение воды в каналах и реках).

Гидравлические
струи,
в этом
случае поток жидкости не ограничивается
стенками русла.

Для схематизации
явления движения жидкости вводят понятие
о линии тока.

Пусть в любой точке
потока движущейся жидкости скорость
движения меняется по величине и
направлению (рис. 19).

Рис. 19. Линия тока
потокам жидкость

Построим в точке
1 вектор, показывающий величину и
направление скорости движения
в
этой точке в данный момент времени.
Выберем на этом векторе точку 2 на
расстоянииот
точки 1 и построим вектор соответствующей
скоростив
этой точке в тот же момент времени.
Затем выберем точку 3 и т.д.

Если расстояние
уменьшить, то в пределе ломаная линия
1-2-3… станет кривой, проходящей через
данную точку 1. Эта кривая называетсялинией тока.

Следовательно,
линией тока
называется
линия в потоке, касательные к которой
в каждой точке совпадают с направлением
векторов скорости в точке.

Элементарные
струйки
.
Возьмем в движущейся жидкости элементарную
площадку и из всех точек ее периметра
проведем линии тока (рис. 20).

Рис. 20. Элементарная
струйка

Совокупность этих
линий образует поверхность, которая
ограничивает пространство, называемое
трубкой тока.

Движение жидкости
по трубке тока представляет собой
элементарную струйку.

Следовательно,
элементарная
струйка –
часть
потока жидкости, ограниченной линиями
тока, проведенными через все точки
замкнутого контура, находящегося в
движущейся жидкости.

Любой поток жидкости
можно рассматривать как совокупность
большого количества элементарных
струек.

Трубкой тока
называется поверхность, образованная
системой линий тока, проведенных через
все точки контура элементарной площадки.
С точки зрения положений геометрии,
трубку тока можно рассматривать как
элементарный канал, через который
протекает жидкость.

Для случая
установившегося движения элементарной
струйке придаются следующие свойства:

а) форма элементарной
струйки остается неизменной с течением
времени;

б) через стенки
элементарной струйки движение жидкости
не происходит (обмена энергией жидкости
между элементарными струйками нет);

в) вследствие
малости поперечного сечения элементарной
струйки скорость и гидродинамическое
давление во всех точках ее поперечного
сечения одинаковы.

Основы гидродинамики

Гидродинамика (точнее, техническая
гидродинамика) изучает законы движения
жидкости, а также взаимодействие между
жидкостью и твердыми телами при их
относительном движении. Гидродинамика
позволяет использовать эти законы при
решении задач в области водоснабжения,
канализации, газоснабжения, вентиляции,
гидротехники и т.д. .

Теория технической гидродинамики,
изложенная в данном пособии, строится
для струйной модели жидкости и основывается
на 3-х основных уравнениях, носящих общий
характер:

  • уравнение несжимаемости и неразрывности
    движущейся жидкости (уравнение баланса
    расхода жидкости);

  • уравнение баланса удельной энергии
    потока (уравнение Бернулли);

  • гидравлическое уравнение количества
    движения.

Основное уравнение — гидродинамика

Распределение скоростей в нормальном сечении потока в трубе.| К уравнению расхода.

Основные уравнения гидродинамики выражают закон сохранения массы и закон сохранения энергии для движущейся жидкости.

Основные уравнения гидродинамики для этого случая существенно осложняются.

Основными уравнениями гидродинамики для среды с плотностью вещества р, движущейся со скоростью v, являются уравнение непрерывности и уравнение движения.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

Это — основное уравнение гидродинамики, известное под названием уравнения неразрывности.

К этому основному уравнению гидродинамики следует добавить еще одно, которое называется уравнением непрерывности.

К определению установившегося движения.

Уравнение Бернулли представляет собой основное уравнение гидродинамики.

Схемы к определению скорости истечения жидкости из отверстий ( а и б и расчету расходомера Вентури ( в и г.

Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики и широко используется в инженерной практике. Для решения задач с помощью этого уравнения обычно по длине потока выделяется два ( или более) поперечных сечения, для которых записывается уравнение Бернулли. Если в одном из сечений один параметр ( z, p, v) является неизвестным, то из уравнения Бернулли находят соотношения для его определения. Если необходимо найти два неизвестных параметра, то решают систему уравнений, состоящую из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности. Далее приводятся некоторые характерные примеры использования уравнения Бернулли для решения практических задач.

Уравнение (9.22) является основным уравнением гидродинамики исполнительного механизма при малых приращениях всех переменных.

Запись ( Юа) основных уравнений гидродинамики, называемых также уравнениями Эйлера, позволяет видеть особые математические трудности, возникающие в гидродинамике. Так как в уравнения входят произведения компонентов скорости на их производные, эти уравнения уже не линейные, и в отличие от линейных дифференциальных уравнений в частных производных, встречающихся в других разделах физики, например уравнений электромагнитного поля, для них не выполняется закон суперпозиции решений, который бывает весьма полезным ( см. исследование колебаний струны, стр.

Уравнение Даниила Бернулли является основным уравнением гидродинамики. Ниже разбирается это уравнение для установившегося плавно изменяющегося движения жидкости, с помощью которого решаются основные задачи гидродинамики.

К выводу уравнения Бернулли для элементарной струйки.

Что такое уравнение Бернулли

Даниил Бернулли (1700-1782) — физик и математик из Швейцарии, также он изучал медицину, основал математическую физику, гидродинамику. Его известное уравнение отображает зависимость между характеристиками плавно меняющегося жидкого потока, выступает ключевым законом гидродинамики.

Формулируется правило так: полная удельная энергия для струйки идеальной жидкости (ее составляют в сумме удельная энергия положения и давления с кинетической удельной энергией) является неизменной величиной в любых взятых сечениях струйки. Иными словами, в каждой отдельно взятой точке трубопровода энергия потока равняется сумме динамического, весового и статического давлений.

Полная энергия = V + Z + P = константа

Данный принцип является демонстрацией сохранения энергии, одной из наиболее ранних, что стали известны человечеству. Полное давление всегда является постоянным, если только система не пополняется новой энергией (либо часть энергии исчезает).

В законе Бернулли динамическое и весовое давление, соответственно, рассчитываются по своим формулам:

• V =1/2ρv2 (давление динамическое), здесь ρ обозначает плотность жидкости, v —это скорость потока;

• Z =ρgz (давление весовое), здесь ρ — плотность, g — ускорение свободного падения, z обозначает высоту.

P в формуле обозначает давление.

Если рассматривать физическое значение принципа Бернулли, то оно отображает закон сохранения механической энергии по отношению к жидкости, в данном случае идеальной, несжимаемой.

7.2 Преобразование Громеки-Лэмба.

Рассмотрение теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы показывает, что жидкость, как любое материальное тело, может участвовать в поступательном и вращательном движениях.

Следует обратить внимание на то, что для совершения работы в современных технических устройствах может использоваться только энергия поступательного движения. Энергия же вращательного (вихревого) движения полностью теряется, рассеивается в окружающей среде, превращаясь в теплоту

Система уравнений Эйлера (7.4) не учитывает факт существования этих двух движений, что в определенной степени обедняет ее. Поэтому целесообразно использовать преобразование, позволяющее учесть эту особенность движения жидких частиц, называемое преобразованием ГромекиЛэмба. Формально оно сводится к тому, что в выражение для ускорения вводятся члены, характеризующие вращение жидких частиц.

Рассмотрим лишь одну компоненту:

ax

=

∂ux

+ux

∂ux

+uy

∂ux

+uz

∂ux

(7.3)

∂ y

∂t

∂ x

∂ z

Прибавим и вычтем в конвективной части ускорения выражение

uy

∂uy

+uz

∂uz

∂ x

∂ x

Скомпонуем члены с учетом знаков:

ux

∂u

∂uy

+uz

∂u

=

1 ∂

(ux

+uy +uz )=

1 ∂u2

+ uy

x

z

2

2

2

∂ x

∂ x

∂ x

2 ∂ x

2 ∂ x

∂u

x

∂u

x

∂uy

∂u

z

uy

+uz

+uz

=

∂ y

∂ z

uy

∂ x

∂ x

∂uy

∂u

x

∂u

x

∂u

z

= −uy

∂ x

∂ y

+uz

∂ z

∂ x

Выражения в скобках есть не что иное, как удвоенные компоненты вихря ωz и ωy , т.е. можем записать

−2uyωz +2uzωy = 2(uzωy −uyωz )

Подставляя полученные значения в (7.3) имеем

Закон Бернулли в действии

Закон Бернулли следует рассмотреть в действии. Это удобно сделать посредством рисунка.

В горизонтальном трубопроводе изображен поток жидкости, она протекает слева направо, не теряя энергию на трение. При этом правая и левая части имеют одинаковый диаметр, а часть, расположенная по центру, имеет диаметр, равный 2/3 от него. Вертикальные (они еще называются пьезометрическими) трубки в центральной и левой областях имеют выход в атмосферу. При этом уровень жидкости в них прямо пропорционален Р (то есть статическому давлению в указанных областях).

Отметим, что давление в области, имеющий больший диаметр, будет превышать этот показатель в узкой области. Это ожидаемо, поскольку скорость в центральном сегменте будет выше. Поэтому согласно принципу швейцарского физика давление снижается вместе с ростом скорости.

Однако статическое давление ведет себя не совсем обычно (оно демонстрируется уровнем жидкости в правой вертикальной трубке). Следует предположить, что оно возвратится к уровню, подобно уровню левой трубки (здесь как условие отсутствуют потери энергии, связанные с трением). Между тем уровень в правой трубке указывает на более высокое давление, в то же время в системе не появляется новая энергия. Дело в том, что столбик с правой стороны является трубкой Пито. Данное приспособление отображает давление особым методом: помимо статического давления, учитывает дополнительное, которое порождается скоростью жидкого потока.

При условии, что если бы с выходящей стороны водного потока оказался закрытым клапан, поток исчезнет. В результате вертикальные трубки демонстрировали бы аналогичное статическое давление вне зависимости от своего положения, а также формы. А после того как поток возобновится, статическое давление (его измеряют пьезометрические трубки) станет равно давлению на конкретном участке. Но у трубки Пито входящее отверстие направляется навстречу потоку (поскольку она имеет внизу изгиб под прямым углом), и он заталкивает туда больше жидкости. Когда вода не течет в трубку (то есть застаивается), то уровень жидкости в ней достигает максимума, равен суммарному динамическому и статическому давлению. Таким образом, давление, фиксируемое трубкой, есть полное давление.

Применение закона Бернулли на практике

Указанный закон широко применяется в технике. Так, функционирование многих приборов основано на этом важнейшем правиле гидравлики. Целый ряд устройств разработан на основании принципа Бернулли: например, это карбюратор, эжектор, водоструйный насос, трубчатый расходомер Вентури, сопло, водомерная шайба.

Карбюратор нужен для создания рабочей смеси горючего (подсоса бензина, его смешивания с воздухом) в двигателях внутреннего сгорания. Струйные насосы также очень востребованы в технике, например, в реактивных жидкостных двигателях. Расходомер Вентури необходим в промышленных и лабораторных условиях.

Закон Бернулли применим к полету самолета либо искривленной траектории вращающегося мяча. Он относится и к суднам в море: им нельзя проходить чересчур близко друг к другу, поскольку повышение между ними скорости потока создаст область низкого давления, а это чревато бортовым столкновением. Еще один пример действия уравнения на практике — занавеску в ванной притягивает вода, текущая из душа.

История гидродинамики

Первые попытки исследования сопротивления среды движению тела были сделаны Леонардо да Винчи и Галилео Галилеем. Принято считать, что Галилео проводил опыты по сбрасыванию шаров различной плотности с Пизанской башни, данный опыт описывается в учебной литературе и поэтому известен всем со школьных времён (достоверной информации, подтверждающей проведение данного опыта Галилео Галилеем на сегодняшний день не имеется). В 1628 году Бенедетто Кастелли издал маленькую работу, в которой он очень хорошо для своего времени объяснил несколько явлений при движении жидкости в реках и каналах. Однако, в работе содержалась ошибка, так как он предполагал скорость вытекания жидкости из сосуда пропорциональной расстоянию отверстия до поверхности воды. Торричелли заметил, что вода, выливающаяся из фонтана поднимается на высоту порядка уровня воды питающего водоёма. На основе этого он доказал[источник не указан 2060 дней] теорему, о пропорциональности скорости вытекания квадратному корню из расстояния от отверстия до поверхности жидкости. Теорема была экспериментально проверена на воде, вытекающей из различных насадок. Едме Мариотто в труде, который был опубликован после его смерти впервые объяснял несоответствие теории и экспериментов при помощи учёта эффектов трения. В труде Исаака Ньютона «philosophie naturalis principia mathematica» для объяснения снижения скорости проточной воды использовались именно понятия вязкости и трения. Также в работах Ньютона развивались представления Мариотто о потоке воды как о наборе трущихся нитей. Эта теория уже сопоставима с современной теорией переноса движения в жидкостях.

После издания Ньютоном своих работ учёные всего мира начали пользоваться его законами для объяснения различных физических явлений. Спустя 60 лет Леонард Эйлер получил аналог второго закона Ньютона для жидкости. В 1738 году Даниил Бернулли издал работу, где объяснялась теория движения жидкостей. Он использовал два предположения: поверхности жидкости, вытекающей из сосуда всегда остаётся горизонтальной[источник не указан 2060 дней] и то, что скорость опускания слоев воды обратно пропорциональна их ширине. В отсутствии демонстраций этих принципов теория доверия не получила.

Колин Маклорен и Иоанн Бернулли хотели создать более общую теорию, зависящую только от фундаментальных законов Ньютона. Научное сообщество сочло их методы недостаточно строгими. Теория Даниила Бернулли встретила сопротивление со стороны Жана Лерона Даламбера, разработавшего свою теорию. Он применил принцип, полученный Якобом Бернулли, который сводил законы движения тел к закону их равновесия. Даламбер применил этот принцип для того, чтобы описать движение жидкостей. Он использовал те же гипотезы, что и Даниил Бернулли, хотя его исчисление было выстроено в другой манере. Он рассматривал в каждый момент движения слоя жидкости составленным из движения в прошлый момент времени и движения, который он потерял. Законы равновесия между потерями и потерями движения дали уравнения, представляющее уравнение движение жидкости. Оставалось выразить уравнениями движение частицы жидкости в любом заданном направлении. Эти уравнения были найдены Даламбером из двух принципов: прямоугольный канал, выделенный в массе жидкости, находящейся в равновесии, сам находится в равновесии и часть жидкости, переходящая из одного места в другое сохраняет тот же самый объём, если она является несжимаемой и изменяет объём с учётом законов упругости, в противном случае. Этот метод был перенят и доведён до совершенства Леонардом Эйлером. Решение вопроса о движении жидкостей было произведено с помощью метода частных производных Эйлера. Это исчисление было впервые применено к движению воды Даламбером. Метод позволил представить теорию движения жидкостей в формулировке, не ограниченной никакими особыми предположениями.

7.1 Уравнения движения идеальной жидкости.

Уравнения движения идеальной жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях, положив в них все производные от τ равными нулю и заменив нормальные напряжения давлениями, имея в виду, что pxx = pyy = pzz = −p . Таким образом, уравнения гидродинамики принимают

вид

X −

1 ∂ p

=

dux

ρ ∂ x

dt

Y −

1 ∂ p

=

duy

(7.1)

ρ ∂ y

dt

Z −

1 ∂ p

=

duz

ρ ∂ z

dt

либо в векторной форме

r

1

r

(7.2)

F −

grad p = a

ρ

Система (7.1) называется системой дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики, она связывает давления и скорости в движущейся жидкости. Следует помнить, что выражения в правой части уравнений системы являются полными либо субстанциональными производными. Наличие конвективных членов ускорения приводит к тому, что система является нелинейной, содержащей четыре неизвестных: три проекции скорости и давление. Проекции единичных массовых сил обычно известны из постановки задачи.

Два способа описания движения жидкости или газа

Первый подход к описанию движения

Берут какую-то частицу жидкости или газа, точнее очень малый объем, настолько не большой, что его размерами можно пренебречь относительно той области в которой он движется. И рассматривают силы, действующие на эту частицу. Что это за силы? Это сила тяжести и сила давления. Зная силы действующие на частицу, с помощью 2-го закона Ньютона мы можем найти ускорение этой частицы. Зная ускорение, пользуясь аппаратом кинематики чисто математическим путем мы можем вычислить как меняется её скорость и направление. Зная как меняется скорость мы можем найти перемещение частицы в любой момент времени, т.е. мы можем знать траекторию движения частицы. Это невообразимо сложная задача, потому что таких частиц очень много, они движутся одновременно. Поэтому такой подход используется с помощью компьютерного моделирования. Именно такую задачу для огромного количества частиц решают суперкомпьютеры.

Второй подход к описанию движения

Этот подход более уместен, когда мы анализируем на теоретическом уровне движение жидкостей. Идея состоит в следующем. При первом подходе мы рассматриваем каждую частицу отдельно. При втором подходе мы рассматриваем жидкость как совокупность частиц. И в один момент времени смотрим как движутся частицы во всех точках жидкости сразу и рассматриваем систему как векторное поле скоростей.

Графическое отображение закона Бернулли

Следующий рисунок представляет уравнение графически. Закон демонстрирует, как ведет себя гидравлическая система, когда изменяются размеры трубы, показатели давления, высоты при потерях энергии на клапанах, соединительных элементах. Данный пример показывает давление в трех разных точках трубопровода при непрекращающемся равномерном потоке неизменной высоты.

Здесь уровень жидкой среды в трубках указывает в обозначенных точках на статическое давление. Линия, что соединяет трубки, носит название гидравлического градиента (то есть пьезометрической линии). Другая наклонная же линия расположена выше, параллельно гидравлическому градиенту и является градиентом энергии, он обозначает полное давление. Измерить его легко посредством трубки Пито или высчитать, зная скоростное значение потока и соответствующую формулу 1/2ρv2.

Градиент энергии есть суммарное статическое давление и скоростной напор в любой взятой точке. На данном рисунке скоростной напор постоянен, а вот гидростатический набор в связи с трением снижается.

3.1. Основные понятия о движении жидкости

Живым сечениемω (м²) называют площадь
поперечного сечения потока, перпендикулярную
к направлению течения. Например, живое
сечение трубы — круг (рис.3.1, б); живое
сечение клапана — кольцо с изменяющимся
внутренним диаметром (рис.3.1, б).

Рис. 3.1. Живые сечения: а — трубы, б — клапана

Смоченный периметрχ («хи») —
часть периметра живого сечения,
ограниченное твердыми стенками (рис.3.2,
выделен утолщенной линией).

Рис. 3.2. Смоченный периметр

Для круглой трубы

если угол в радианах, или

Расход потока Q
— объем жидкости V,
протекающей за единицу времени t
через живое сечение ω.

Средняя скорость потока υ
— скорость движения жидкости, определяющаяся
отношением расхода жидкости Q
к площади живого сечения ω

Поскольку скорость движения различных
частиц жидкости отличается друг от
друга, поэтому скорость движения и
усредняется. В круглой трубе, например,
скорость на оси трубы максимальна, тогда
как у стенок трубы она равна нулю.

Гидравлический радиус потока R
отношение живого сечения к смоченному
периметру

Течение жидкости может быть
установившимся и неустановившимся.
Установившимся
движением называется такое движение
жидкости, при котором в данной точке
русла давление и скорость не изменяются
во времени

υ = f(x, y,
z)

P
= φ f(x, y, z)

Движение, при котором скорость и давление
изменяются не только от координат
пространства, но и от времени, называется
неустановившимся или нестационарным

υ = f1(x,
y, z, t)

P
= φ f1(x,
y, z, t)

Линия тока(применяется при
неустановившемся движении) это кривая,
в каждой точке которой вектор скорости
в данный момент времени направлены по
касательной.

Трубка тока
— трубчатая поверхность, образуемая
линиями тока с бесконечно малым поперечным
сечением. Часть потока, заключенная
внутри трубки тока называется элементарной
струйкой
.

Рис. 3.3. Линия тока и струйка

Течение жидкости может быть
напорным и безнапорным. Напорное
течение наблюдается в закрытых руслах
без свободной поверхности. Напорное
течение наблюдается в трубопроводах с
повышенным (пониженным давлением).
Безнапорное
— течение со свободной поверхностью,
которое наблюдается в открытых руслах
(реки, открытые каналы, лотки и т.п.). В
данном курсе будет рассматриваться
только напорное течение.

Рис. 3.4. Труба с переменным диаметром
при постоянном расходе

Из закона сохранения вещества
и постоянства расхода вытекает уравнение
неразрывности
течений.
Представим трубу с переменным живым
сечением (рис.3.4). Расход жидкости через
трубу в любом ее сечении постоянен, т.е.
Q1=Q2=
const
, откуда

ω1υ1
= ω2υ2

Таким образом, если течение в трубе
является сплошным и неразрывным, то
уравнение неразрывности примет вид:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий